هندسه اقليدسي - اصول هندسه اقليدسي
مقاله هندسه اقليدسي
مقدمه ۱ اقليدس ۳ آمدن به اسكندريه ۳ اصول اقليدس ۴ هندسه اقليدسي ۵ تاريخچه ۶ اصول موضوعه ۷ اصول متعارفي ۸ پس از اقليدس ۸ كتاب اصول اقليدس ۹ شرح زندگي ۱۱ هندسه نااقليدسي و اقليدسي ۱۳ هندسه اقليدسي ۱۴ اصل موضوع چهارم اقليدس ۱۴ اصل پنجم اقليدس ۱۵ اصل توازي اقليدسي ۱۶ اصل پليفير ۱۶ اصل توازي هذلولوي ۱۶ هندسه نااقليدسي و نسبيت عام اينشتين ۱۷ منابع ۲۰. در اين زمان گروهي از رياضيدانان پس از مطالعات بسيار به اين نتيجه رسيدند كه ميتوان در اصل پنجم اقليدس (كه ميگويد دو خط موازي هيچگاه يكديگر را قطع نميكنند) گزارهاي ديگر را قرار داد (مثلاً دو خط موازي در يك نقطه يكديگر را قطع ميكنند يا در دو نقطه يا در بينهايت نقطه و…)ودر عين حال سازگاري برقرار باشد و بر پايهٔ اين يافتهٔ رياضي انواع هندسههاي نااقليدسي را پديد آوردند.
كارل گاوس رياضيدان بزرگ اين مشاهدات را قرنها بعد آزمايش كرد او از تلسكوپهاي قوي و تجهيزات نقشه برداري دقيق براي اندازگيري زاويه هاي مثلث با ضلعهاي چند كيلومتري استفاده كرد با در نظر گرفتن خطاي آزمايش مجموع زاويه هاي داخلي هر مثلث همانگونه كه اقليدس گفته بود برابر ۱۸۰ درجه بود تا امروز اصل موضوع موازي بودن صرفا يك فرض است. جهت پرداخت مبلغ شما به درگاه پرداخت يكي از بانك ها منتقل خواهيد شد، براي پرداخت آنلاين از درگاه بانك اين بانك ها، حتماً نياز نيست كه شما شماره كارت همان بانك را داشته باشيد و بلكه شما ميتوانيد از طريق همه كارت هاي عضو شبكه بانكي، مبلغ را پرداخت نماييد.
از يادداشتهاي پروكلوس و پاپوس اسكندراني دانستهايم كه اقليدس از اعضاي فعال كتابخانهٔ بزرگ اسكندريه و احتمالأ درسخواندهٔ آكادمي افلاطون بوده است ولي از تاريخ دقيق تولد و مرگ او مطلع نيستيم و حتي نميدانيم در كدامين شهر يا قارهٔ جهان زاده شده است. اقليدس با دقت سازمان كتاب خود را طراحي كرد در ابتدا او تمام دانسته هاي مربوط به موضوع را جمع آوري كرد او تعددي از تعريف و حقايق اساسي يا بديهيات را معرفي كرد بقيه كتاب را به طور منطقي مرتب و برهنهاي گمشده را پيدا كرد. هندسهٔ اقليدسي به مجموعهٔ گزارههايِ هندسياي اطلاق ميشود كه به بررسي موجودات رياضياتي مثل نقطه و خط ميپردازد و بر پايههائي كه اقليدس رياضيدان يوناني در كتاب خود بهنام اصول عرضه كرده، بنا شده است.
هندسه اقليدسي و نااقليدسي
در سال ۱۸۵۴ فريدريش برنهارد ريمان نشان داد كه اگر نامتناهي بودن خط مستقيم كنار گذاشته شود و صرفاً بي كراني آن مورد پذيرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعديل جزئي اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسي ديگري را مي توان به دست آورد. در كارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يك سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده كرده اند و با هيچگونه مشكلي هم مواجه نشدند. در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و … تلاش كردند اصل ۵ اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند.
اما براي فواصل دور نظير فواصل نجومي از چه خطكشي (متري) مي توانيم استفاده كنيم؟ طبيعي است كه در اينجا هيچ خطكشي وجود ندارد كه بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند. حال سئوال اين است كه اگر خطكش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد كرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي كه براي ساختن خطكش استفاده كنيم، شرايط فيزيكي محيط بر روي آن اثر مي گذارد.
در هندسه بيضوي با حركت از يك نقطه و پيمودن يك خط مستقيم در آن صفحه، مي توان به نقطه ي اول باز گشت! همچنين مي توان ديد كه در هندسه بيضوي نسبت محيط يك دايره به قطر آن همواره كمتر از عدد پي است. اصطلاحات بنيادي رياضيات طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون كميت هايي در نظر مي گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. سوال اساسي اين است كه كدام يك از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟ پاسخ صريح و روشن اين است كه بايد انحناي يك سطح را تعيين كنيم تا مشخص شود كدام يك درست است. دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد.
وي در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه اي از آن را براي گاوس فرستاد.
اصول هندسه اقليدسي
اصل دوم:براي هر پاره خط AB وهر پاره خط CD نقطه منحصر به فرد E وجود دارد كه B ميان A و E قرارداشته وپاره خط CD بر پاره خط BE قابل انطباق است. اصل پنجم:براي هر خط L وهر نقطه A كه بر L واقع نيست فقط يك خط وجود دارد كه A بر آن واقع است و با خط L موازي است. اصل سوم:براي هر نقطه O وهر نقطه A كه با O مساوي نيست دايره به مركز O و شعاع OA وجود دارد. اصل اول:براي هردو نقطه متمايز خط منحصربه فردي وجود دارد كه از اين دو نقطه مي گذرد.
برچسب: ،
ادامه مطلب